選擇公理

選擇公理的定義

選擇公理（AC）聽起來像是一個花哨的數學東西，但它實際上只是關於做出選擇。假設您有大量的盒子。每個盒子裡面都有一些彈珠，沒有盒子是空的。AC 說你可以從每個盒子中挑選一顆彈珠，即使你有無數個盒子，而且無法從每個盒子中挑選哪顆彈珠。換句話說，對於任何一組非空組（集），至少有一個集合 – 我們稱之為 “選擇集” – 它恰好包含所有其他集合中的一個專案。

換句話說，想想一個巨大的圖書館，裡面有無數的書籍。每本書都是一組充滿故事的書，而圖書館是一組書。Axiom of Choice 允許您通過從每本書中僅選擇一個故事來創建新書。你不需要規則來挑選故事;你只知道你能做到。這本新書是您的「選擇集」，其中包含圖書館中每本書的故事。

類型

儘管選擇公理是獨一無二的，但它確實在特殊情況下有變化。把它想像成為為不同的任務使用不同的工具——雖然它們都做類似的工作，但有些工具更適合某些任務。

“依賴選擇原則”可以被認為是做出一系列選擇，其中每個選擇都取決於前一個選擇。
“可數選擇公理” 適用於你只從可以計數的集合清單中挑選的情況，比如第一組、第二組，等等。

選擇 Axiom 的範例

襪子和鞋子：假設您有無數的襪子和鞋子。從每雙襪子中選擇一隻襪子需要 AC，因為一雙襪子看起來一樣——挑選它們沒有簡單的規則。但是對於鞋子，你每次都可以選擇左邊的，因此不需要 AC。這是 AC 的一個範例，因為它顯示了當您沒有簡單的選擇方法時的不同之處。
非空集的無限乘積：想像一下無窮無盡的集合，每個集合至少有一個數位。AC 允許您從每個數位中選擇一個數位來製作一組新數位。這是一個例子，因為如果沒有 AC，如果你試圖從無限多個集合中進行選擇，你就無法製作這個集合。

為什麼它很重要？

選擇公理是一個重要的數學工具，它讓我們對我們無法解決的問題說“是”。這就像擁有一把神奇的鑰匙，可以打開一座巨大建築中的任何鎖。有了 AC，我們有能力一次選擇無限多個選項，即使沒有明確的選擇方法。這在數學的所有不同部分都非常有用。如果您不是數學家，請將其視為使許多先進技術和科學成為可能的基本規則——它是幕後但非常重要。

影響和應用

選擇公理的範圍很廣，幾乎涉及數學的每個領域。一個例子是證明任何有方向的空間（向量空間）都有一個「基礎」，這意味著你可以用某種方式描述該空間中的每個點。它還有助於對每組都有一個「最小」項的行中的集合進行排序（排序）。這並不容易看到所有集合，比如數位，但 AC 讓它起作用。

與相關公理的比較

當我們談論 AC 時，我們經常聽到它與另外兩個數學原理一起：Zermelo-Fraenkel 集合論（ZF）和廣義連續體假設（GCH）。它們共同構成了 ZFC 集合論，這是許多數學的基礎。AC 在 ZF 中獨樹一幟;你不能用其他 ZF 原則來證明它是對還是錯。

起源

AC 始於 1900 年代，由一位名叫 Ernst Zermelo 的數學家創立。他提出來是為了證明系列可以有一定的順序。這是一件大事，從那時起，AC 開始在數學中變得非常重要。

爭議

一些數學愛好者都喜歡 AC，因為它就像一個解謎者。其他人則不太確定，因為它會使奇怪的事情看起來成為可能，例如“巴那赫－塔斯基悖论（Banach-Tarski paradox）”——想像一下將一個球劈成碎片，然後將其放回不是一個，而是兩個相同大小的整個球中。這在現實生活中不會發生，但 AC 說這在數學中是可以的。

結論

所以，選擇公理是集合論中的一個大概念，它是數學的一部分。這一切都是為了從一堆套裝中挑選一件物品，即使這些套裝沒有盡頭或明確的挑選方式。它對數學的許多部分產生了影響，並在數學愛好者之間開始了一些激烈的聊天。它可能不會改變你每天做的事情，但在數學界，它起著重要的作用，瞭解它有助於我們瞭解數學大腦如何思考數位、形狀和更多奇怪的想法。